Linear Programming ( Metode Grafik )

PROGRAM LINIER DENGAN METODE GRAFIK

Metode grafik hanya bisa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dimana hanya terdapat dua variabel keputusan. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, langkah pertama yang harus dilakukan adalah memformulasikan permasalahan yang ada ke dalam bentuk Linear Programming (LP). Langkah-langkah dalam formulasi permasalahan adalah :

  1.     pahamilah secara menyeluruh permasalahan manajerial yang dihadapi
  2.     identifikasikan tujuan dan kendalanya
  3.     definisikan variabel keputusannya

Metode grafik adalah satu cara yang dapat digunakan untuk memecahkan masalah optimalisasi dalam programasi linier. Keterbatasan metode ini adalah variabel yang bisa digunakan terbatas (hanya dua), penggunaan 3 variabel akan sangat sulit dilakukan.

Dua macam fungsi Program Linear:

  •  Fungsi tujuan : mengarahkan analisa untuk mendeteksi tujuan perumusan masalah
  •  Fungsi kendala : untuk mengetahui sumber daya yang tersedia dan permintaan atas sumber daya tersebut.

1. MASALAH MAKSIMASI

Maksimasi dapat berupa memaksimalkan keuntungan atau hasil.

Contoh:

PT LAQUNATEKSTIL memiliki sebuah pabrik yang akan memproduksi 2 jenis produk, yaitu kain sutera dan kain wol. Untuk memproduksi kedua produk diperlukan bahan baku benang sutera, bahan baku benang wol dan tenaga kerja. Maksimum penyediaan benang sutera adalah 60 kg per hari, benang wol 30 kg per hari dan tenaga kerja 40 jam per hari. Kebutuhan setiap unit produk akan bahan baku dan jam tenaga kerja dapat dilihat dalam tabel berikut:

Jenis Bahan Baku dan Tenaga Kerja Kg Bahan Baku & Jam Tenaga Kerja Maksimum Penyediaan
Kain Sutra Kain Wol
Benang Sutra 2 3 60 kg
Benang Wol 2 30 kg
Tenaga Kerja 2 1 40 kg

 Langkah-langkah:
1) Tentukan variabel
        X1=kain sutera
        X2=kain wol
2) Fungsi tujuan
        Zmax= 40X1 + 30X2
3) Fungsi kendala / batasan
        1. 2X1 + 3X2  60 (benang sutera)
        2. 2X2  30 (benang wol)
        3. 2X1 + X2  40 (tenaga kerja)
4) Membuat grafik
        1. 2X1 + 3 X 2=60
            X1=0, X2 =60/3 = 20
            X2=0, X1= 60/2 = 30
        2. 2X2  30
            X2=15
        3. 2X1 + X2  40
            X1=0, X2 = 40
            X2=0, X1= 40/2 = 20

Cara mendapatkan solusi optimal:
1. Dengan mencari nilai Z setiap titik ekstrim.
Titik A
    X1=0, X2=0
    masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
    Z = 40 . 0 + 30 . 0 = 0
Titik B
    X1=20, X2=0
    masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
    Z = 40 . 20 + 30 . 0 = 800
Titik C
    Mencari titik potong (1) dan (3)
    2X1 + 3X2 = 60
    2X1 + X2 = 40
    2X2=20  X2=10
    Masukkan X2 ke kendala (1)
    2X1 + 3X2 = 60
    2X1 + 3 . 10 = 60
    2X1 + 30 = 60
    2X1 = 30  X1 = 15
    masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
    Z = 40X1 + 30X2 = 40 . 15 + 30 . 10 = 600 + 300 = 900 (optimal)
Titik D
    2X2 = 30
    X2 = 15
    masukkan X2 ke kendala (1)
    2X1 + 3 . 15 = 60
    2X1 + 45 = 60
    2X1 = 15  X1 = 7,5
    masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
    Z = 40 . 7,5 + 30 . 15 = 300 + 450 = 750
Titik E
    X2 = 15
    X1 = 0
    masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
    Z = 40 . 0 + 30 .15 = 450
Kesimpulan :
untuk memperoleh keuntungan optimal, maka X1 = 15 dan X2 = 10 dengan
keuntungan sebesar Rp 900 juta.

 

2. Dengan cara menggeser garis fungsi tujuan.
Solusi optimal akan tercapai pada saat garis fungsi tujuan menyinggung daerah feasible (daerah yang diliputi oleh semua kendala) yang terjauh dari titik origin. Pada gambar, solusi optimal tercapai pada titik C yaitu persilangan garis kendala (1) dan (3).

Titik C
Mencari titik potong (1) dan (3)
   2X1 + 3X2 = 60
   2X1 + X2 = 40
   2X2=20
   X2=10
Masukkan X2 ke kendala (1)
   2X1 + 3X2 = 60
   2X1 + 3 . 10 = 60
   2X1 + 30 = 60
   2X1 = 30  X1 = 15
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
   40X1 + 30X2 = 40 . 15 + 30 . 10 = 600 + 300 = 900

 

2. MASALAH MINIMASI

Minimisasi dapat berupa meminimumkan biaya produksi. Solusi optimal tercapai pada saat garis fungsi tujuan menyinggung daerah fasible yang terdekat dengan titik origin.

Contoh:

Perusahaan makanan ROYAL merencanakan untuk membuat dua jenis makanan yaitu Royal Bee dan Royal Jelly. Kedua jenis makanan tersebut mengandung vitamin dan protein. Royal Bee paling sedikit diproduksi 2 unit dan Royal Jelly paling sedikit diproduksi 1 unit. Tabel berikut menunjukkan jumlah vitamin dan protein dalam setiap jenis makanan:

Jenis Makanan Vitamin (unit) Protein (unit) Biaya per unit (ribu rupiah)
Royal Bee 2 2 100
Royal Jelly 1 3 80
Minimum Kebutuhan 8 12

Bagaimana menentukan kombinasi kedua jenis makanan agar meminimumkan biaya produksi.
Langkah – langkah:
1. Tentukan variabel
    X1 = Royal Bee
    X2 = Royal Jelly
2. Fungsi tujuan
    Zmin = 100X1 + 80X2
3. Fungsi kendala
   1) 2X1 + X2  8 (vitamin)
   2) 2X1 + 3X2  12 (protein)
   3) X1  2
   4) X2 1
4. Membuat grafik
    1) 2X1 + X2 = 8
        X1 = 0, X2 = 8
        X2 = 0, X1 = 4
    2) 2X1 + 3X2 = 12
        X1 = 0, X2 = 4
        X2 = 0, X1 = 6
    3) X1 = 2
    4) X2 = 1

Solusi optimal tercapai pada titik B (terdekat dengan titik origin), yaitu

persilangan garis kendala (1) dan (2).
2X1 + X2 = 8
2X1 + 3X2 = 12
-2X2 = -4  X2 = 2
masukkan X2 ke kendala (1)
2X1 + X2 = 8
2X1 + 2 = 8
2 X1 = 6  X1 = 3
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
Z min = 100X1 + 80X2 = 100 . 3 + 80 . 2 = 300 + 160 = 460

Kesimpulan :
Untuk meminimumkan biaya produksi, maka X1 = 3 dan X2 = 2 dengan biaya produksi 460 ribu rupiah.

 

Iklan

About rilekrider

Pecinta kuda besi yang rilekk

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: